Ejercicio de Matemáticas discretas

Producido por:

Maryury C. Hernandez P. <mayuyy@hotmail.com>

 

 

PROBLEMA 34

 Notación y terminología:

             El problema aquí planteado es completamente en español. Cuando se dice que se repartan 10 caramelos entre cuatro niños y que al ultimo le toquen al menos 3 es porque pueden ocurrir diferentes permutaciones entre la repartición ya que al ultimo le deben tocar mas de tres o tres y la ocurrencia en los otros niños es completamente aleatoria entre los caramelos restantes por lo cual usamos el Teorema probabilística que nos plantea que:

 

       Si tenemos n objetos dentro de los cuales hay n1 iguales entre si, n2 iguales entre si, etc... Hasta nk iguales entre si, donde n1+n2+.....+nk=n, el número total de permutaciones entre los n objetos  es:

 

Donde:

NC: numero de combinaciones posibles en esa forma.

n: numero de caramelos totales

: numero de caramelos por cada niño.

 

Antecedentes:

       Para la solución de este problema usamos el libro de Probabilidades del Prof. Oswaldo Ramírez Capitulo II “Teoría Combinatoria” Pág. 22-31

 

Pregunta 34:

       Como se pueden repartir 10 caramelos entre cuatro niños si al último le deben tocar al menos 3 caramelos.

 

Respuesta 34:

Se buscan todas las formas de repartir los caramelos entre los niños cumpliendo con la restricción de que al último le deben tocar al menos 3

 

I FORMA

 

1 1 5 3 – 1 5 1 3 – 5 1 1 3

 

II FORMA

 

2 4 1 3 – 2 1 4 3 – 4 2 1 3 – 4 1 2 3 – 1 4 2 3 – 1 4 2 3 – 1 2 4 3

 

III FORMA

 

2 2 3 3 – 2 3 2 3 – 3 2 2 3

 

IV FORMA

 

1 1 4 4 – 1 4 1 4 – 4 1 1 4

 

V FORMA

 

1 2 3 4 – 1 3 2 4 – 2 3 1 4 – 2 1 3 4 – 3 1 2 4 – 3 2 1 4

 

VI FORMA

 

2 2 1 4 – 2 1 2 4 – 1 2 2 4

 

VII FORMA

 

1 1 3 5 – 1 3 1 5 – 3 1 1 5

 

VIII FORMA

 

1 2 2 5  - 2 1 2 5 – 2 2 1 5

 

IX FORMA

 

1 1 2 6 – 1 2 1 6 – 2 1 1 6

 

X FORMA

 

1 1 1 7

 

Conociendo las posibles combinaciones para repartir los 10 caramelos utilizamos la formula de el numero total de permutaciones entre n objetos.

 

Usando esta formula encontramos que las formas de repartir los 10 caramelos entre los cuatro niños se obtiene sumando cada una de las posibles combinaciones por lo tanto estas son:

 

    

 

Moraleja:

          El sentido común puede ser muy útil al calcular problemas de permutaciones, al igual que el uso de formulas ya elaboradas en materias como probabilidades, es por ello la importancia de este tipo de teorías como es la “Permutación con repetición”.